高一數學函數知識點歸納

1、函數：設A、B為非空集合，如果按照某個特定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，寫作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域，與x相對應的y的值叫做函數值，函數值的集合B={f(x)?x∈A}叫做函數的值域。

2、函數定義域的解題思路：

⑴若x處于分母位置，則分母x不能為0。

⑵偶次方根的被開方數不小于0。

⑶對數式的真數必須大于0。

⑷指數對數式的底，不得為1，且必須大于0。

⑸指數為0時，底數不得為0。

⑹如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的，那么，它的定義域是各個部分都有意義的x值組成的集合。

⑺實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義。

3、相同函數

⑴表達式相同：與表示自變量和函數值的字母無關。

⑵定義域一致，對應法則一致。

4、函數值域的求法

⑴觀察法：適用于初等函數及一些簡單的由初等函數通過四則運算得到的函數。

⑵圖像法：適用于易于畫出函數圖像的函數已經分段函數。

⑶配方法：主要用于二次函數，配方成y=(x-a)2+b的形式。

⑷代換法：主要用于由已知值域的函數推測未知函數的值域。

5、函數圖像的變換

⑴平移變換：在x軸上的變換在x上就行加減，在y軸上的變換在y上進行加減。

⑵伸縮變換：在x前加上系數。

⑶對稱變換：高中階段不作要求。

6、映射：設A、B是兩個非空集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于A中的任意儀的元素x，在集合B中都有唯一的確定的y與之對應，那么就稱對應f：A→B為從集合A到集合B的映射。

⑴集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。

⑵集合A中的不同元素，在集合B中對應的象可以是同一個。

⑶不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

7、分段函數

⑴在定義域的不同部分上有不同的解析式表達式。

⑵各部分自變量和函數值的取值范圍不同。

⑶分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集。

8、復合函數：如果（u∈M），u=g(x)（x∈A）,則，y=f[g(x)]=F(x)（x∈A），稱為f、g的復合函數。

高一數學函數的性質

1、函數的局部性質??單調性

設函數y=f(x)的定義域為I，如果對應定義域I內的某個區間D內的任意兩個變量x1、x2，當x1< x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么y=f(x)在區間d上是增函數，d是函數y=f(x)的單調遞增區間；當x1< x2時，都有f(x1)="">f(x2)，那么那么y=f(x)在區間D上是減函數，D是函數y=f(x)的單調遞減區間。

⑴函數區間單調性的判斷思路

?在給出區間內任取x1、x2，則x1、x2∈D，且x1< x2。

?做差值f(x1)-f(x2)，并進行變形和配方，變為易于判斷正負的形式。

?判斷變形后的表達式f(x1)-f(x2)的符號，指出單調性。

⑵復合函數的單調性

復合函數y=f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律為“同增異減”；多個函數的復合函數，根據原則“減偶則增，減奇則減”。

⑶注意事項

函數的單調區間只能是其定義域的子區間，不能把單調性相同的區間和在一起寫成并集，如果函數在區間A和B上都遞增，則表示為f(x)的單調遞增區間為A和B，不能表示為A∪B。

2、函數的整體性質??奇偶性

對于函數f(x)定義域內的任意一個x，都有f(x)=f(-x)，則f(x)就為偶函數；

對于函數f(x)定義域內的任意一個x，都有f(x)=-f(x)，則f(x)就為奇函數。

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⑴奇函數和偶函數的性質

?無論函數是奇函數還是偶函數，只要函數具有奇偶性，該函數的定義域一定關于原點對稱。

?奇函數的圖像關于原點對稱，偶函數的圖像關于y軸對稱。

⑵函數奇偶性判斷思路

?先確定函數的定義域是否關于原點對稱，若不關于原點對稱，則為非奇非偶函數。

?確定f(x)和f(-x)的關系：

若f(x)-f(-x)=0，或f(x)/f(-x)=1，則函數為偶函數；

若f(x)+f(-x)=0，或f(x)/f(-x)=-1，則函數為奇函數。

3、函數的最值問題

⑴對于二次函數，利用配方法，將函數化為y=(x-a)2+b的形式，得出函數的最大值或最小值。

⑵對于易于畫出函數圖像的函數，畫出圖像，從圖像中觀察最值。

⑶關于二次函數在閉區間的最值問題

?判斷二次函數的頂點是否在所求區間內，若在區間內，則接?，若不在區間內，則接?。

?若二次函數的頂點在所求區間內，則在二次函數y=ax2+bx+c中，a>0時，頂點為最小值，a<0時頂點為最大值；后判斷區間的兩端點距離頂點的遠近，離頂點遠的端點的函數值，即為a>0時的最大值或a<0時的最小值。

?若二次函數的頂點不在所求區間內，則判斷函數在該區間的單調性

若函數在[a，b]上遞增，則最小值為f(a)，最大值為f(b)；

若函數在[a，b]上遞減，則最小值為f(b)，最大值為f(a)。

高一數學基本初等函數

1、指數函數：函數y=ax(a>0且a≠1)叫做指數函數

注意：⑴由函數的單調性可以看出，在閉區間[a,b]上，指數函數的最值為：

a>1時，最小值f(a)，最大值f(b)；0<a<1時，最小值f(b)，最大值f(a)。< p="">

⑵對于任意指數函數y=ax(a>0且a≠1)，都有f(1)=a。

2、對數函數：函數y=logax(a>0且a≠1))，叫做對數函數

3、冪函數：函數y=xa(a∈R)，高中階段，冪函數只研究第I象限的情況。

⑴所有冪函數都在(0，+∞)區間內有定義，而且過定點(1,1)。

⑵a>0時，冪函數圖像過原點，且在(0，+∞)區間為增函數，a越大，圖像坡度越大。

⑶a<0時，冪函數在(0，+∞)區間為減函數。

當x從右側無限接近原點時，圖像無限接近y軸正半軸；

當y無限接近正無窮時，圖像無限接近x軸正半軸。

冪函數總圖見下頁。

4、反函數：將原函數y=f(x)的x和y互換即得其反函數x=f-1(y)。

反函數圖像與原函數圖像關于直線y=x對稱。